已知双曲线C：的一个焦点是F2（2，0），且．（1）求双曲线C的方程；（2）...

已知双曲线C：

的一个焦点是F₂（2，0），且 manfen5.com 满分网

．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设经过焦点F₂的直线l的一个法向量为（m，1），当直线l与双曲线C的右支相交于A，B不同的两点时，求实数m的取值范围；并证明AB中点M在曲线3（x-1）²-y²=3上．
（3）设（2）中直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点，问是否存在实数m，使得∠AOB为锐角？若存在，请求出m的范围；若不存在，请说明理由．

（1）根据半焦距c和a与b的关系联立方程求得a和b，则双曲线方程可得．（2）把直线l与双曲线方程联立消去y，根据判别式大于0判断出直线与双曲线定有交点，进而根据韦达定理求得焦点横坐标的和与积得表达式，根据双曲线的性质求得m的范围．设A，B的坐标，则可知其中点的坐标，代入曲线3（x-1）2-y2=3等式成立，可判断出AB的中点在此曲线上．（3）设存在实数m，使∠AOB为锐角，根据判断出x1x2+y1y2＞0，根据（2）中求得x1x2的表达式，进而可去知y1y2的表达式，进而求得根据x1x2+y1y2＞0求得m的范围，结果与m2＞3矛盾，假设不成立，判断出这样的实数不存在．【解析】（1）c=2c2=a2+b2 ∴4=a2+3a2∴a2=1，b2=3，∴双曲线为．（2）l：m（x-2）+y=0由得（3-m2）x2+4m2x-4m2-3=0 由△＞0得4m4+（3-m2）（4m2+3）＞012m2+9-3m2＞0即m2+1＞0恒成立 ∴m2＞3∴ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ∴ ∵ ∴M在曲线3（x-1）2-y2=3上．（3）A（x1，y1），B（x2，y2），设存在实数m，使∠AOB为锐角， ∴x1x2+y1y2＞0 因为y1y2=（-mx1+2m）（-mx2+2m）=m2x1x2-2m2（x1+x2）+4m2 ∴（1+m2）x1x2-2m2（x1+x2）+4m2＞0 ∴（1+m2）（4m2+3）-8m4+4m2（m2-3）＞0即7m2+3-12m2＞0 ∴，与m2＞3矛盾 ∴不存在

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考点分析：

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．
（1）求证：x与y的关系为 manfen5.com 满分网

；
（2）设

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