Question

已知双曲线，椭圆C与双曲线有相同的焦点，两条曲线的离心率互为倒数．
（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆C经过点M，点M的横坐标为2，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m，l交椭圆于A、B两个不同点，求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，求证：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

Answer

（1）设出椭圆的标准方程，依据条件，待定系数法求出待定系数，进而得到椭圆的标准方程．
（2）用点斜式设出直线l的方程，代入椭圆方程，利用判别式大于0，求出m的取值范围．
（3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只要证明k1+k2=0即可．设出A、B两个点的坐标，并用此坐标表示k1，k2，把（2）中根与系数的关系代入k1+k2化简可得结论．
解（1）设椭圆方程为，∵焦点坐标（±，0），离心率是，
a2=8，b2=a2-c2=2，
所以椭圆方程
（2）因为直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m
又，所以l的方程为：，
由，
因为直线l与椭圆交于A、B两个不同点，
∴△=（2m）2-4（2m2-4）＞0，（8分）
所以m的取值范围是{m|-2＜m＜2，m≠0}．（9分）
（3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只要证明k1+k2=0即可．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则
由x2+2mx+2m2-4=0
可得x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4（10分）
而（11分）
=（12分）
==∴k1+k2=0，
故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．（14分）