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现有m(m≥2)个不同的数P1、P2、P3、…、Pn.将他们按一定顺序排列成一列...

现有m(m≥2)个不同的数P1、P2、P3、…、Pn.将他们按一定顺序排列成一列.对于其中的两项Pi和Pj,若满足:1≤i<j≤m且Pi>Pj(即前面某数大于后面某数),则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列(n+1)、n、(n-1)、…3、2、1的逆序数为an.如排列2、1的逆序数a1=1,排列3、2、1的逆序数a2=3.
(1)求a3、a4、a5
(2)求an的表达式;
(3)令manfen5.com 满分网,证明b1+b2+…bn<2n+3,n=1,2,….
(1)由已知条件我们用列举法易得a3、a4、a5 (2)根据(1)的结论及a1、a2的值,我们利用归纳推理不难得到an的表达式 (3)要证明b1+b2+…bn<2n+3,关键要根据(2)的结论及,将bn表达出来,并利用数列求和的方法解决问题. 【解析】 (I)由已知得a3=6,a4=10,a5=15, (II)∵a1=1, a2=3=2+1, a3=6=3+2+1, a4=10=4+3+2+1, a5=15=5+4+3+2+1, … ∴不妨猜想 (III)因为, 又因为,, 所以b1+b2+…+bn= =. 综上,b1+b2+…+bn<2n+3,n=1,2,.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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