Question

现有m（m≥2）个不同的数P₁、P₂、P₃、…、P_n．将他们按一定顺序排列成一列．对于其中的两项P_i和P_j，若满足：1≤i＜j≤m且P_i＞P_j（即前面某数大于后面某数），则称P_i与P_j构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列（n+1）、n、（n-1）、…3、2、1的逆序数为a_n．如排列2、1的逆序数a₁=1，排列3、2、1的逆序数a₂=3．
（1）求a₃、a₄、a₅；
（2）求a_n的表达式；
（3）令，证明b₁+b₂+…b_n＜2n+3，n=1，2，…．

Answer

（1）由已知条件我们用列举法易得a3、a4、a5
（2）根据（1）的结论及a1、a2的值，我们利用归纳推理不难得到an的表达式
（3）要证明b1+b2+…bn＜2n+3，关键要根据（2）的结论及，将bn表达出来，并利用数列求和的方法解决问题．
【解析】
（I）由已知得a3=6，a4=10，a5=15，
（II）∵a1=1，
a2=3=2+1，
a3=6=3+2+1，
a4=10=4+3+2+1，
a5=15=5+4+3+2+1，
…
∴不妨猜想
（III）因为，
又因为，，
所以b1+b2+…+bn=
=．
综上，b1+b2+…+bn＜2n+3，n=1，2，．