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设椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上,C1的中心和C2的顶点均为原点,从每条曲...

设椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上,C1的中心和C2的顶点均为原点,从每条曲线上至少取两个点,将其坐标记录于表中:
 x 3-2 4 manfen5.com 满分网 manfen5.com 满分网
 y-2manfen5.com 满分网 0-4 manfen5.com 满分网-manfen5.com 满分网
(1)求C1、C2的标准方程;
(2)设直线l与椭圆C1交于不同两点M、N,且manfen5.com 满分网,请问是否存在这样的直线l过抛物线C2的焦点F?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
(1)设抛物线C2:y2=2px(p≠0),由题意知C2:y2=4x(2分).设,把点(-2,0)(,)代入得解得,由此可知C2的方程. (2)假设存在这样的直线l过抛物线焦点F(1,0),设其方程为x-1=my,设M(x1,y1),N(x2,y2),由.得x1x2+y1y2=0.由消去x,得(m2+4)y2+2my-3=0,然后由根的判别式和根与系数的关系可知假设成立,即存在直线l过抛物线焦点Fl的方程为:2x±y-2=0. 【解析】 (1)设抛物线C2:y2=2px(p≠0),则有, 据此验证5个点知只有(3,)、(4,-4)在统一抛物线上,易求C2:y2=4x(2分) 设,把点(-2,0)(,)代入得解得 ∴C2方程为(5分) (2)假设存在这样的直线l过抛物线焦点F(1,0) 设其方程为x-1=my,设M(x1,y1),N(x2,y2), 由.得x1x2+y1y2=0(*)(7分) 由消去x,得(m2+4)y2+2my-3=0,△=16m2+48>0 ∴① x1x2=(1+my1)(1+my2)=1+m(y1+y2)+m2y1y2; =②(9分) 将①②代入(*)式,得 解得(11分), ∴假设成立,即存在直线l过抛物线焦点Fl的方程为:2x±y-2=0(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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