Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点．
（1）求证：AB₁⊥面A₁BD；
（2）求二面角A-A₁D-B的大小；
（3）求点C到平面A₁BD的距离．

Answer

法一：（1）要证AB1⊥面A1BD，只需证明直线AB1垂直面A1BD内的两条相交直线B1O、AB1即可；
（2）设AB1与A1B交于点G，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，连接AF，
说明∠AFG为二面角A-A1D-B的平面角，然后解三角形，求二面角A-A1D-B的大小；
（3）利用等体积法，求点C到平面A1BD的距离．
法二：建立空间直角坐标系，求出相关向量，利用向量的数量积等于0证明垂直，
（1）求证：AB1⊥面A1BD；
向量共线证明平行，向量数量积求出二面角的大小
（2）求二面角A-A1D-B的大小；
距离公式求出距离，解答（3）求点C到平面A1BD的距离．
证明：法一：（Ⅰ）取BC中点O，连接AO．∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC．
∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1．
连接B1O，在正方形BB1C1C中，O，D分别为BC，CC1的中点，∴B1O⊥BD，∴AB1⊥BD．
在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，∴AB1⊥平面A1BD．

（Ⅱ）设AB1与A1B交于点G，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，连接AF，
由（Ⅰ）得AB1⊥平面A1BD．∴AF⊥A1D，∴∠AFG为二面角A-A1D-B的平面角．
在△AA1D中，由等面积法可求得，
又∵，
∴．
所以二面角A-A1D-B的大小为．
（Ⅲ）△A1BD中，，S△BCD=1．
在正三棱柱中，A1到平面BCC1B1的距离为=．
设点C到平面A1BD的距离为d．
由得，∴．∴点C到平面C的距离为．
法二：（Ⅰ）取BC中点O，连接AO．
∵△ABC为正三角形，
∴AO⊥BC．
∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，
∴AO⊥平面BCC1B1．
取B1C1中点O1，以O为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则B（1，0，0），D（-1，1，0），，，B1（1，2，0），
∴，，．
∵，，
∴，．
∴AB1⊥平面A1BD．

（Ⅱ）设平面A1AD的法向量为n=（x，y，z）．，．
∵，，
∴∴∴
令z=1得为平面A1AD的一个法向量．
由（Ⅰ）知AB1⊥平面A1BD，∴为平面A1BD的法向量．cos＜n，．
∴二面角A-A1D-B的大小为．
（Ⅲ）由（Ⅱ），为平面A1BD法向量，∵．
∴点C到平面A1BD的距离．