Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为正方形，侧棱与底面边长均为2a，且∠A₁AD=∠A₁AB=60°，则侧棱AA₁和截面B₁D₁DB的距离是    ．

Answer

由题意知平面B1D1DB垂直于A1AC1C，连A1D，A1B，A1C1，AC，设A1C1交B1D1于O1点，AC交BD于O点，根据ABCD为正方形可求得BD，进而求得A1O1，根据∠A1AD=∠A1AB=60求得A1D和A1B，进而可知A1D2+A1B2=B1D12，推断出△A1BD为等腰直角三角形，同理可推断△AO1O为等腰直角三角形，进而求得A1到OO1的距离，答案可得．
【解析】
由题意知平面B1D1DB垂直于A1ACC1
连A1D，A1B，A1C1，AC
设A1C1交B1D1于O1点
AC交BD于O点
∵ABCD为正方形
∴BD=A1C1=2a
∴A1O1=a
又∠A1AD=∠A1AB=60，
∴A1D=A1B=2a
A1D2+A1B2=B1D12
则△A1BD为等腰直角三角形
则A1O=a=A1O1
在△AO1O中
A1O=A1O1=a
又OO1=2a
∴△AO1O为等腰直角三角形
∴A1到OO1的距离为a
即侧棱AA1和平面B1D1DB的距离是a
故答案为a．