Question

设平面α∥平面β，AB、CD是两条异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C∈α，B、D∈β，求证：MN∥平面α．

Answer

因为AB与CD是异面直线，故MN与AC、BD不平行．在平面α、β中找不到与MN平行的直线，试图通过证线线平行达到线面平行这一思路受阻；于是转而考虑通过证面面平行达到线面平行，即需找一个过MN且与α平行的平面．根据M、N是异面直线上的中点这一特征，连接BC，则此时AB、BC共面，即BC为沟通AB、CD的桥梁，再取BC的中点E，连接ME、NE，用中位线知识可证得．
证明：连接BC、AD，取BC的中点E，连接ME、NE，则ME是△BAC的中位线，
故ME∥AC，ME⊄α，∴ME∥α．
同理可证，NE∥BD．又α∥β，
设CB与DC确定的平面BCD与平面α交于直线CF，则CF∥BD，
∴NE∥CF．而NE⊄平面α，CF⊂α，∴NE∥α．
又ME∩NE=E，∴平面MNE∥α，
而MN⊂平面MNE，∴MN∥平面α．