Question

如图，在空间六边形（即六个顶点没有任何五点共面）ABCC₁D₁A₁中，每相邻的两边互相垂直，边长均等于a，并且AA₁∥CC₁．求证：平面A₁BC₁∥平面ACD₁．

Answer

在平面A1BC1内的两条相交直线BC1和A1C1，证明A1C1∥平面ACD1，BC1∥平面ACD1即可证明两个平面平行．
证明：作正方形BCC1B1和CC1D1D，并连接A1B1和AD．
∵AA1CC1BB1DD1，且AA1⊥AB，AA1⊥A1D1，
∴ABB1A1和AA1D1D都是正方形，且ACC1A1是平行四边形．
故它们的对应边平行且相等．
∵△ABC≌△A1B1C1，∴A1B1⊥B1C1．
同理，AD⊥CD．
∵BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴BB1⊥平面ABC．
同理，DD1⊥平面ACD．
∵BB1∥DD1，∴BB1⊥平面ACD．
∴A、B、C、D四点共面．
∴ABCD为正方形．
同理，A1B1C1D1也是正方形．
故ABCD-A1B1C1D1是正方体．
易知A1C1∥AC，
∴A1C1∥平面ACD1．
同理，BC1∥平面ACD1，
∴平面A1BC1∥平面ACD1．