如图，两条线段AB、CD所在的直线是异面直线，CD⊂平面α，AB∥α，M、N分别...

如图，两条线段AB、CD所在的直线是异面直线，CD⊂平面α，AB∥α，M、N分别是AC、BD的中点，且AC是AB、CD的公垂线段．
（1）求证：MN∥α；
（2）若AB=CD=a，AC=b，BD=c，求线段MN的长．

（1）构造出线面平行的判定定理成立的条件--即在面内找到一条线与其平行即可．（2）构造直角三角形，利用勾股定理在直角三角形中求线段MN的长．（1）证明：过B作BB′⊥α，垂足为B′，连接CB′、DB′，设E为B′D的中点，连接NE、CE，则NE∥BB′且NE=BB′，又AC=BB′， ∴MCNE，即四边形MCEN为平行四边形（矩形）． ∴MN∥CE．又CE⊂α，MN⊄α，∴MN∥α．（2）【解析】由（1）知MN=CE，AB=CB′=a=CD，B′D==， ∴CE==，即线段MN的长为．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等