Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=a．
（1）求证：平面AD₁B₁∥平面C₁DB；
（2）求证：A₁C⊥平面AD₁B₁．

Answer

（1）欲证平面AD1B1∥平面C1DB，根据面面平行的判定定理可知证一平面内两相交直线与另一平面平行即可，而D1B1∥平面C1DB，AB1∥平面C1DB，满足定理条件；
（2）欲证A1C⊥平面AD1B1，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证A1C与平面AD1B1内两相交直线垂直，而A1C1⊥D1B1，A1C⊥AB1，D1B1∩AB1=B1，满足定理条件．
（1）证明：∵D1B1∥DB，∴D1B1∥平面C1DB．
同理，AB1∥平面C1DB．
又D1B1∩AB1=B1，
∴平面AD1B1∥平面C1DB．
（2）证明：∵A1C1⊥D1B1，而A1C1为A1C在平面A1B1C1D1上的射影，∴A1C1⊥D1B1．
同理，A1C⊥AB1，D1B1∩AB1=B1．
∴A1C⊥平面AD1B1．