Question

已知常数a＞1，变数x、y有关系：3log_xa+log_ax-log_xy=3
（1）若x=a^t（t≠0），试以a、t表示y．
（2）t∈[1，+∞）时，y有最小值8，求此时a和x的值．

Answer

（1）、利用对数的换底公式可知：x=at（t≠0），由3logxa+logax-logxy=3得，再由指数和对数的转化公式进行合理转化，把对数方程转化为指数函数；
（2）、指数函数的性质可知：当t∈[1，+∞）时，t2-3t+3=有最小值，此时t=，且y有最小值=8，据此能求出此时a和x的值．
【解析】
（1）．∵x=at（t≠0），∴由3logxa+logax-logxy=3得，∴logay=t2-3t+3，∴，t≠0．
（2）．当t∈[1，+∞）时，t2-3t+3=有最小值，此时t=，且y有最小值=8，解得a=16．所以t∈[1，+∞）时，y有最小值8，此时a=16和x=