Question

已知椭圆C：，直线l：y=mx+1，若对任意的m∈R，直线l与椭圆C恒有公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A．[1，4）
B．[1，+∞）
C．[1，4）∪（4，+∞）
D．（4，+∞）

Answer

把直线l：y=mx+1代入椭圆C：，得bx2+4（mx+1）2=4b，△=64m2-4×（b+4m2）×（4-4b）≥0，∴b≥1-4m2，再由b≠4，得到b∈[1，4）∪（4，+∞）．
【解析】
把直线l：y=mx+1代入椭圆C：，得bx2+4（mx+1）2=4b，
整理得（b+4m2）x2+8mx+4-4b=0，△=64m2-4×（b+4m2）×（4-4b）≥0
解得16b（b-4m2+1）≥0，∵b＞0，∴b-4m2+1≥0，
∴b≥1-4m2，∵b≠4，∴b∈[1，4）∪（4，+∞）．
故选C．．