Question

已知：四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，且PA=AB=2，∠ABC=60°，BC、PD的中点分别为E、F．
（Ⅰ）求证BC⊥PE；
（Ⅱ）求二面角F-AC-D的余弦值；
（Ⅲ）在线段AB上是否存在一点G，使得AF||平面PCG？若存在指出G在AB上位置并给以证明，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）要证BC⊥PE，要转化为证明BC⊥平面PAE
（2）先做出二面角的平面角，再转化为解三角形问题
（3）若AF∥平面PCG，关键是要找到平面PCG上可能与AF平行的直线．
（Ⅰ）证明：
方法一：∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥BC
连接AE∵底面ABCD是菱形∠ABC=60°
∴△ABC是正三角形，
又E时BC的中点∴BC⊥AE
而PA∩AE=ABC⊥平面PAE∴BC⊥PE
方法二：以AE、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
用向量方法证明，
从而得出BC⊥PE也可以
（Ⅱ）由Ⅰ知AE、AD、AP彼此两两垂直，故以AE、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系
∵PA=AB=2∴A（0，0，0），，，
D（0，2，0），，F（0，1，1），P（0，0，2）
∴，
设平面FAC的法向量为，
则求得
平面ACD的法向量为，
设二面角F-AC-D的平面角为θ，
则
即二面角F-AC-D的余弦值为
（Ⅲ）在线段AB上存在中点G，使得AF∥平面PCG
方法1：设PC的中点为H，连接FH，
易证四边形AGHF为平行四边形，
∴AF∥GH又GH⊂平面PGC，AF⊄平面PGC∴AF∥平面PGC
方法2：假设在线段AB上存在点G，使得AF∥平面PCG，
则（0≤λ＜1），∵，
∴，
∵，
∴
设平面PGC的法向量为，
由得
∵，且，解得
故在线段AB上存在中点G，使得AF∥平面PCG．