Question

设a∈R，函数f（x）=e^-x（a+ax-x²）（e是自然对数的底数）．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（-1，f（-1））处的切线方程；
（Ⅱ）判断f（x）在R上的单调性．

Answer

（Ⅰ）先求出f′（x），把a=1代入f′（x）确定其解析式，根据曲线y=f（x）的切点（-1，f（-1））得到切线的斜率k=f′（-1），把x=-1代入f（x）中求出f（-1）得到切点的坐标，利用切点坐标和斜率写出切线方程即可；
（Ⅱ）令f′（x）=0解出x的值为0和a+2，分a+2大于0，小于0，等于0三个区间讨论f′（x）的正负时x的取值范围即可得到函数的单调区间．
【解析】
∵f（x）=e-x（a+ax-x2）
∴f′（x）=-e-x（a+ax-x2）+e-x（a-2x）=e-xx[x-（a+2）]
（Ⅰ）当a=1时f′（x）=e-xx（x-3），
则f′（-1）=-e（-1-3）=4e，f（-1）=e（1-1-12）=-e，
所以切点坐标为（-1，-e），切线斜率k=4e
则切线方程为y+e=4e（x+1）即4ex-y+3e=0；
（Ⅱ）令f′（x）=0得x=0，x=a+2
∴当a+2＞0即a＞-2时，f′（x）＞0
∴f（x）在（-∞，0），（a+2，+∞）单调递增，在（0，a+2）单调递减；
当a+2＜0即a＜-2时，f′（x）＜0
∴f（x）在（-∞，a+2），（0，+∞）单调递增，在（a+2，0）单调递减；
当a+2=0，即a=-2时，
f′（x）=e-xx2≥0，f（x）在R上单调递增．