Question

已知两点M（0，1）N（0，-1），平面上动点P（x，y）满足．
（Ⅰ）求动点P（x，y）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设Q（0，m），R（0，-m）（m≠0）是y轴上两点，过Q作直线与曲线C交于A、B两点，试证：直线RA、RB与y轴所成的锐角相等；
（Ⅲ）．在Ⅱ的条件中，若m＜0，直线AB的斜率为1，求△RAB面积的最大值．

Answer

（1）先根足．把M，N和p的坐标代入整理得x2=4y，进而可得P点的轨迹方程．
（2）设直线l的方程，与抛物线方程联立消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理可得x1+x2和x1x2，要证明直线RA、RB与y轴所成的锐角相等，只要证明kRA+kRB=0，进而表示出两直线斜率，相加正好得0．
（3）根据斜率为1可得直线AB的方程，与抛物线方程联立消去y，根据判别式大于0求得m的范围，根据x1+x2和x1x2，表示出|AB|．记点R到AB的距离为d，，进而表示出△RAB面积，判别出关于m的函数的单调性，进而可求得△RAB面积的最大值．
【解析】
（Ⅰ）∵，
∴
化简整理得x2=4y∴动点P（x，y）的轨迹C为抛物线，其方程为：x2=4y；
（Ⅱ）∵过Q作直线l与抛物线C交于A、B两点，∴l的斜率k存在
设直线l：y=kx+m与x2=4y联立，
消去y得x2-4kx-4m=0，
则此方程有两个不相等的实数根，
∴△=16k2+16m＞0，*
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=4k，x1x2-4m，
要证直线RA、RB与y轴所成的锐角相等，
只要证明kRA+kRB=0
∵，
∴
=
=，
∴命题成立．
Ⅲ．若直线AB的斜率k=1，
∴直线x-y+m=0，由Ⅱ．知消去y得x2-4x-4m=0，
由*式△＞0得m＞-1，∴-1＜m＜0，
且x1+x2=4，x1x2-4m，
记点R到AB的距离为d，，
，
设f（m）=m3+m2f′（m）=3m2+2m令f′（x）＞0知f（m）
在递增，在递减，
∴当时f（m）有最大值，故S△RAB最大值为．