Question

在数列{a_n}、{b_n}中，已知a₁=6，b₁=4，且b_n、a_n、b_n+1成等比数列，a_n、b_n+1、a_n+1成等差数列，（n∈N⁺）
（Ⅰ）求a₂、a₃、a₄及b₂、b₃、b₄，由此猜想{a_n}、{b_n}的通项公式，并证明你的结论；
（Ⅱ）证明：．

Answer

Ⅰ由已知可知2bn+1=an+an+1，an2=bn•bn+1，把a1=6，b1=4，代入计算得：a2=12，a3=20，a4=30，b2=9，b3=16，b4=25，
由此猜想an=（n+1）（n+2），bn=（n+1）2（n∈N+），再用数学归纳法证明猜想．
Ⅱ因为．当n≥2时，由an+bn=（n+1）（n+2）+（n+1）2=（n+1）（2n+3）＜2n（n+1），然后用放缩法进行证明．
【解析】
Ⅰ．由已知bn、an、bn+1成等比数列，
an、bn+1、an+1成等差数列，（n∈N+）
∴2bn+1=an+an+1，an2=bn•bn+1，
∵a1=6，b1=4，代入计算得：
a2=12，a3=20，a4=30，b2=9，b3=16，b4=25，
由此猜想an=（n+1）（n+2），bn=（n+1）2（n∈N+），
证明：（1）当n=1，由上面计算知猜想的结论成立；
（2）假设当n=k（k＞1，k∈N+）时结论成立，
即ak=（k+1）（k+2），bk=（k+1）2，
则当n=k+1时，由于ak2=bk•bk+1，
∴
∴当n=k+1时，结论bn=（n+1）2成立，
又ak+1=2bk+1-ak=2（k+2）2-（k+1）（k+2）
=（k+2）（k+3）=[（k+1）+1][（k+1）+2]
∴当n=k+1时，an=（n+1）（n+2）也成立
由（1）（2）所证可知对任意的自然数n∈N+，
结论an=（n+1）（n+2），bn=（n+1）2都成立；
Ⅱ．因为．
当n≥2时，由an+bn=（n+1）（n+2）+（n+1）2
=（n+1）（2n+3）＜2n（n+1），
=证毕．