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定长为3的线段AB的两端点在抛物线y2=x上移动,记线段AB的中点为M,求点M到...

定长为3的线段AB的两端点在抛物线y2=x上移动,记线段AB的中点为M,求点M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标.
先用A、B点的坐标表示点M,则点M到y轴的距离即为其横坐标建立距离模型,再利用基本不等式法求得最值,由取得等号的条件求得M点的坐标. 【解析】 设A(x1,y1),B(x2,y2),AB长度为3, 那么x1=y12,x2=y22,(1) 32=(x2-x1)2+(y2-y1)2=(y22-y12)2+(y2-y1)2=(y2-y1)2[(y2+y1)2+1](2) 线段AB的中点M(x,y)到y轴的距离为 由(2)得x≥,并且当(y1-y2)2=(y1+y2)2+1=3(3) 时x取得最小值x= 下证x能达到最小值,根据题意不妨设y1>y2,由(3)得 由此解得y1,y2,由(1)解得x1,x2,所以x可取得最小值. 相应的M点纵坐标 ∴M点坐标为
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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