Question

若S_n是等差数列{a_n}的前n项和，其首项a₁＞0，a₉₉+a₁₀₀＞0，a₉₉•a₁₀₀＜0，则使S_n＞0成立的最大自然数n是（ ）
A．198
B．199
C．200
D．201

Answer

先根据a99•a100＜0，a1＞0，a99+a100＞0，判断出a100＜0，利用等差数列通项公式可知a1+99d＜0同乘以2得2a1+199d＜0，即a99+a101＜0，根据a99+a100＞0，可知在连续相邻的两项中，a99+a100＞0之后的和都将小于0．要使Sn＞0成立，取最大自然数，n满足 a99+a100=a1+a198，进而根据等差数列求和公式求得答案．
【解析】
∵a99•a100＜0，
∴a99和a100异号
∵a1＞0，a99+a100＞0，
∴a99＞0，a100＜0，即a1+99d＜0
∴2a1+199d＜0，即a99+a101＜0，a100+a101＜0
∵a99+a100＞0，
∴在连续相邻的两项中，a99+a100＞0之后的和都将小于0．
要使Sn＞0成立，取最大自然数，n满足
a99+a100=a1+a198，此时Sn=＞0
∴n=198
故选A