Question

直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠ADC=90°，△ABC为等边三角形，且AA₁=AD=DC=2．
（1）求AC₁与BC所成角的余弦值；
（2）求二面角B-AC₁-C的大小；
（3）设M是BD上的点，当DM为何值时，D₁M⊥平面A₁C₁D？并证明你的结论．

Answer

（1）先将CB平移到C1B1，根据两异面所成角的定义可知∠AC1B1（或其补角）是AC1与BC所成的角，在三角形AB1C1中利用余弦定理解出此角即可；
（2）设AC∩BD=O，过O作OH⊥AC1交AC1于H，连接BH，根据二面角平面角的定义可知∠OHB为二面角B-AC1-C的平面角，在Rt△BOH中，求出此角即可；
（3）在BD上取点M，使得OM=OD，连接AM，CM，欲证D1M⊥平面A1C1D，可证D1M⊥A1D，D1M⊥A1C1，又A1D∩A1C1=A1，求出此时的DM．
【解析】
（Ⅰ）∵ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱，
∴C1C∥B1B，且C1C=B1B，
∴四边形C1CBB1是平行四边形，
∴C1B1∥CB，
即∠AC1B1（或其补角）是AC1与BC所成的角．
连接AB1，在三角形AB1C1中，，，
∴=．
故AC1与BC所成角的余弦值为．（5分）

（Ⅱ）设AC∩BD=O，则BO⊥AC，又BO⊥C1C，AC∩C1C=C，
∴BO⊥平面AC1C．
过O作OH⊥AC1交AC1于H，连接BH，则BH⊥AC1，
∴∠OHB为二面角B-AC1-C的平面角．
在Rt△BOH中，，，tanOHB=3，
故二面角B-AC1-C的大小为arctan3．（10分）
（Ⅲ）在BD上取点M，使得OM=OD，连接AM，CM，
∵AD=DC，∠ADC=90°，又DO⊥AC，且AO=OC，
∴CM=AM=AD，
∴四边形AMCD是一个正方形．
可证D1M⊥A1D，D1M⊥A1C1，又A1D∩A1C1=A1，
∴D1M⊥平面A1C1D，此时．
故当时，有D1M⊥平面A1C1D．（14分）