Question

已知数列{a_n}满足8a_n+1=a_n²+m（n，m∈N^*），且a₁=1．
（1）求证：当m=12时，1≤a_n＜a_n+1＜2；
（2）若a_n＜4对任意的n≥1（n∈N）恒成立，求m的最大值．

Answer

（1）求得当n=1时，根据a1=1求得a2，判断出1=a1＜a2＜2．进而假设n=k时，1≤ak＜ak+1＜2成立，求得n=k+1时，求得ak+2＜2，由假设ak2＜ak+12有8（ak+2-ak+1）=ak+12-ak2＞0，整理得ak+2＞ak+1≥ak≥1，最后综合证明原式．
（2）整理8an+1=an2+m得an+1-an=判断出结果大于或等于，进而判断出分析当当m＞16时，显然不可能使an＜4对任意n∈N*成立，当m=16时，a1＜4，假设ak＜4，由8ak+1=16+ak2＜16+42，ak+1＜4．判断出m=16时，对任意n∈N*都有an＜4成立，进而求得m的最大值为16．
证明：（1）①当n=1时，a1=1，又8a2=12+a12，，
∴1=a1＜a2＜2．
②假设n=k时，1≤ak＜ak+1＜2成立，
当n=k+1时，有8ak+2=12+ak+12＜12+22=16，
∴ak+2＜2成立，
由假设ak2＜ak+12有8（ak+2-ak+1）=ak+12-ak2＞0，
∴ak+2＞ak+1≥ak≥1，
∴1≤ak+1＜ak+2＜2．
故由①，②知，对任意n∈N*都有1≤an＜an+1＜2成立．
（2）由于=，，
①当m＞16时，显然不可能使an＜4对任意n∈N*成立，
②当m≤16时，an＜4对任意n∈N*有可能成立，
当m=16时，a1＜4，
假设ak＜4，由8ak+1=16+ak2＜16+42，ak+1＜4．
所以m=16时，对任意n∈N*都有an＜4成立，
所以m≤16时，an＜4，
故m的最大值是16．