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已知△OFQ的面积为,且. (1)当时,求向量与的夹角θ的取值范围; (2)设,...

已知△OFQ的面积为manfen5.com 满分网,且manfen5.com 满分网
(1)当manfen5.com 满分网时,求向量manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网的夹角θ的取值范围;
(2)设manfen5.com 满分网,若以中心O为坐标原点,焦点F在x非负半轴上的双曲线经过点Q,当manfen5.com 满分网取得最小值时,求此双曲线的方程.

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(1)利用两个向量的数量积的定义和三角形面积公式,推出tanθ的解析式,再根据m的范围,求得tanθ 的范围,进而求得θ的取值范围. (2)设出双曲线的标准方程和点Q的坐标,有三角形的面积公式求出点Q的横坐标和纵坐标(用半焦距表示),用基本不等式求出||最小时点Q的坐标,从而得到双曲线方程中的待定系数. 【解析】 (1)由已知得 ,∴tanθ=, ∵<m<4,∴1<tanθ<4,∴<θ<arctan4. (2)设双曲线方程为 -=1,(a>0,b>0),不妨设点Q的坐标为(m,n), n>0,则=(m-c,n),∵△OFQ的面积为 ||•n=2,∴n=. 又由•=(c,0)•(m-c,n)=c(m-c)=(-1)c2,∴m=, ||==≥,当且仅当c=4时,||有最小值, 此时,点Q的坐标为(,),由此可得,解得 , 故所求的方程为:=1.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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