Question

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O为BD₁的中点，M为BC的中点，N为AB的中点，P为BB₁的中点．
（1）求证：BD₁⊥平面MNP；
（2）求异面直线B₁O与C₁M所成角的大小．

Answer

（1）连接BC1，欲证BD1⊥平面MNP，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BD1与平面MNP内两相交直线垂直，而BD1⊥PM，而BD1⊥MN，MN∩PM=M，满足定理条件；
（2）延长CB到Q，使BQ=BM，连接B1Q，OQ，根据异面直线所成角的定义可知∠OB1Q是异面直线B1O与C1M所成的角，在三角形OB1Q中利用余弦定理进行求解即可．
【解析】
（1）连接BC1
由正方体的性质得BC1是BD1在
平面BCC1B1内的射影（3分）且B1C⊥BC1，
所以BD1⊥B1C（5分）
B1C∥PM，则BD1⊥PM，而BD1⊥MN
又MN∩PM=M，∴BD1⊥平面MNP．
（2）延长CB到Q，使BQ=BM，连接B1Q，OQ
则QM∥C1B1，且QM=C1B1．
∴B1Q∥C1M．
∴∠OB1Q是异面直线B1O与C1M所成的角．（12分）
由于正方体的棱长为2，
则B1O=，B1Q==
设底面ABCD的中点为O1，
可求得OQ==
cos∠OB1Q==
即异面直线B1O与C1M所成角的大小为arccos．（14分）