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已知a,b,c均为正数,证明:≥6,并确定a,b,c为何值时,等号成立.

已知a,b,c均为正数,证明:manfen5.com 满分网≥6manfen5.com 满分网,并确定a,b,c为何值时,等号成立.
证法一:两次利用基本不等式放小,此处不用考虑等号成立的条件,因等号不成立不影响不等号的传递性. 证法二:先用基本不等式推出a2+b2+c2≥ab+bc+ac与两者之和用基本不等式放小,整体上只用了一次放缩法.其本质与证法一同. 证明: (证法一) 因为a,b,c均为正数,由平均值不等式得① 所以②(6分) 故. 又③ 所以原不等式成立.(8分) 当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立.当且仅当时,③式等号成立. 即当且仅当a=b=c=时,原式等号成立.(10分) (证法二) 因为a,b,c均为正数,由基本不等式得 所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac① 同理②(6分) 故③ 所以原不等式成立.(8分) 当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立,当且仅当a=b=c,(ab)2=(bc)2=(ac)2=3时,③式等号成立. 即当且仅当a=b=c=时,原式等号成立.(10分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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