Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，其n项和为S_n，且数列{b_n}为等比数列，且是公比为64的等比数列．
（I）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）求证：．

Answer

（I）对两边平方得到①，再由n≥2时，有4Sn-1+4=（an-1+1）2②，利用①-②化简得到数列{anan}是首项为3，公差为2的等差数列，即可求出an的通项公式，因为数列{bn}为首项为1，公比设为q的等比数列，根据数列是公比为64的等比数列求出q即可得到bn的通项公式；
（II）Sn为等差数列的前n项和，所以根据等差数列的求和公式求出Sn通项公式，然后把不等式的左边变形化简得到小于即可．
【解析】
（I）依题意有：4Sn+4=（an+1）2①，所以当n≥2时，有4Sn-1+4=（an-1+1）2②
①-②得：4an=（an+1）2-（an-1+1）2化简得：（an+an-1）（an-an-1-2）=0
∵an＞0，∴an-an-1-2=0
所以数列{an}是以2为公差的等差数列．
故an=3+（n-1）d=3+（n-1）×2=2n+1．
设{bn}的公比为q，则bn=qn-1
∵数列是公比为64的等比数列
∴
解得q=8∴bn=8n-1

（II）Sn=3+5+…+（2n+1）=n（n+2）
∴++…+=+++…+
=（1-+-+-+…+-）
=（1+--）
＜