Question

在平面直角坐标系的距离之比为．设动点P的轨迹为C．
（1）写出C的方程；
（2）设直线的值．
（3）若点A在第一象限，证明：当

Answer

（1）设P（x，y），则依题意有：，由此可求出曲线C的方程．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足，消去y并理得（k2+4）x2+2kx-3=0．再由根与系数的关系能够推怀出实数k=±1．
（3）由题意知=x12-x22+（kx1+1）2-（kx2+1）2=（x1-x2）[（x1+x2）（1+k2）+2k]=由此可知在题设条件下，恒有
【解析】
（1）设P（x，y），则依题意有：
故曲线C的方程为（4分）
注：若直接用，
得出，给（2分）．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足
消去y并理得（k2+4）x2+2kx-3=0
故（5分）
，
而
∴
化简整理得17k4+36k2-53=0（7分）
解得：k2=1经检验k=±1时方程※的△＞0∴k=±1
（3）=x12-x22+（kx1+1）2-（kx2+1）2=（x1-x2）[（x1+x2）（1+k2）+2k]=
因为A在第一象限，故x1＞0．
由
故，
即在题设条件下，恒有（12分）