Question

某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔及所在的山崖可视为图中的竖线OC，塔高BC80（米），山高OB220（米），OA200（米），图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为α，tanα=．试问，此人距山崖的水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）？

Answer

先建立直角坐标系，则依题意可知A，B，C的坐标，进而可得直线l的方程．设点P的坐标为（x，y）进而可求直线PC和PB的斜率，直线PC到直线PB的角的公式可得到tanBPC关于x的表达式tanBPC=，要使tanBPC达到最大，只须达到最小．再由均值不等式可知当且仅当时上式取等号．故当x=320时tanBPC最大．进而得出此时点P的纵坐标，即可得到答案．
【解析】
如图所示，建立平面直角坐标系，
则A（200，0），B（0，220），C（0，300）．
直线l的方程为y=（x-200）tanα，即．
设点P的坐标为（x，y），则（x＞200）
由经过两点的直线的斜率公式，．
由直线PC到直线PB的角的公式得
tan∠BPC=
=（x＞200）
要使tanBPC达到最大，只须达到最小．
由均值不等式．
当且仅当时上式取等号．故当x=320时tanBPC最大．
这时，点P的纵坐标y为．
由此实际问题知，，
所以tanBPC最大时，∠BPC最大．
故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角∠BPC最大．