Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，侧面ACC₁A₁与底面ABC垂直，∠ABC=90°，，且AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C．
（1）试判断A₁A与平面A₁BC是否垂直，并说明理由；
（2）求侧面BB₁C₁C与底面ABC所成锐二面角的余弦值．

Answer

法一：（1）建立空间直角坐标系，求出相关向量，利用数量积=0判定A1A与平面A1BC是否垂直；
（2）利用平面的法向量的数量积求侧面BB1C1C与底面ABC所成锐二面角的余弦值．
法二：（1）利用反证法证明A1A与平面A1BC不垂直；
（2）利用三垂线定理，作出二面角的平面角，然后求解即可．
【解析】
解法一：如图建立空间直角坐标系，
（1）有条件知，（1分）
由面ACC1A1⊥面ABC，AA1⊥A1C，AA1=A1C，知（2分）
，
∵（3分）
∴与不垂直，即AA1与BC不垂直，
∴AA1与平面A1BC不垂直（5分）

（2）由ACC1A1为平行四边形，
知==（7分）
设平面BB1C1C的法向量，
由
令，则（9分）
另外，平面ABC的法向量=（0，0，1）（10分）

所以侧面BB1C1C与底面ABC所成锐二面角的余弦值为（12分）

解法二：（1）取AC中点D，连接A1D，则A1D⊥AC．
又∵侧面ACC1A1与底面ABC垂直，交线为AC，
∵A1D⊥面ABC（2分）
∴A1D⊥BC．
假设AA1与平面A1BC垂直，则A1D⊥BC．
又A1D⊥BC，由线面垂直的判定定理，
BC⊥面A1AC，所以BC⊥AC，这样在△ABC中
有两个直角，与三角形内角和定理矛盾．假设不
成立，所以AA1不与平面A1BC垂直（5分）

（2）侧面BB1C1C与底面ABC所成的锐二面角即为侧面BB1C1C与A1B1C1底面所成的锐二面角．
过点C作A1C1的垂线CE于E，则CE⊥面A1B1C1，B1C1⊥CE．
过点E作B1C1的垂线EF于F，连接CF．
因为B1C1⊥EF，B1C1⊥CE，所以B1C1⊥面EFC，B1C1⊥CF
所以∠CFE即为所求侧面BB1C1C与地面A1B1C1所成的锐二面角的平面角（9分）
由，得
在Rt△ABC中，cos∠
所以，侧面BB1C1C与底面ABC所成锐二面角的余弦值为（12分）