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如图,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,已知AA′=4,AC=BC=2,∠ACB...

如图,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,已知AA′=4,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是AB的中点.
(Ⅰ)求证:CD⊥AB′;
(Ⅱ)求二面角A′-AB′-C的大小;
(Ⅲ)求直线B′D与平面AB′C所成角的正弦值.

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(Ⅰ)欲证CD⊥AB′,可先证CD⊥平面ABB′A′,欲证CD⊥平面ABB′A′,可根据平面ABC与平面ABB′A′垂直的性质定理可得; (Ⅱ)过D作DE⊥AB′,垂足为E,连接CE.由三垂线定理可知CE⊥AB′,根据二面角的平面角的定义可知∠CED是二面角B-AB′-C的平面角,在三角形CED中求出此角,而根据二面角A′-AB′-C与二面角B-AB'-C的大小互补即可求出二面角A′-AB′-C的大小; (Ⅲ)过D作DF⊥CE,垂足为F,连接B′F,根据线面所成角的定义可知∠DB′F为直线B'D与平面AB'C所成的角,在直角三角形DB′F中求出此角的正弦值即可. 【解析】 (Ⅰ)证明:因为AC=BC,D是AB的中点,所以CD⊥AB. 由已知,三棱柱ABC-A′B′C′是直三棱柱, 所以平面ABC⊥平面ABB′A′. 所以CD⊥平面ABB′A′. 又因为AB′⊂平面ABB′A′, 所以CD⊥AB′.(5分) (Ⅱ)【解析】 由(Ⅰ)知CD⊥平面ABB′A′. 过D作DE⊥AB′,垂足为E,连接CE. 由三垂线定理可知CE⊥AB′, 所以∠CED是二面角B-AB′-C的平面角. 由已知可求得,, 所以. 所以二面角B-AB′-C的大小为. 由于二面角A′-AB′-C与二面角B-AB'-C的大小互补, 所以二面角A′-AB′-C的大小为.(10分) (Ⅲ)过D作DF⊥CE,垂足为F,连接B′F. 由(Ⅱ)可证得AB′⊥平面CDE,所以AB′⊥DF,可证得DF⊥平面AB'C. 所以,∠DB′F为直线B'D与平面AB'C所成的角. 在直角三角形CDE中,可知,所以. 在直角三角形BB′D中,可知B′D=. 在直角三角形DB′F中,sin∠DB′F=. 所以直线B'D与平面AB'C所成角的正弦值为.(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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