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已知数列{an}的前n项和为Sn,且,其中a1=1,an≠0. (Ⅰ)求数列{a...

已知数列{an}的前n项和为Sn,且manfen5.com 满分网,其中a1=1,an≠0.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设数列{bn}满足manfen5.com 满分网,Tn为{bn}的前n项和,求证:2Tn>log2(2an+1),n∈N*
(Ⅲ)是否存在正整数m,d,使得manfen5.com 满分网成立?若存在,请求出m和d的值;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)由题设条件可知.所以an+2-an=2(n∈N*).由此可以导出an=n(n∈N*). (Ⅱ)由,得,,故.从而.由此入手能够证明2Tn>log2(2an+1),n∈N*. (Ⅲ)由题意知.a8=8,所以,由此入手能够推导出存在正整数m=d=2,使得成立. 【解析】 (Ⅰ)已知式即,故. 因为an≠0,当然an+1≠0,所以an+2-an=2(n∈N*). 由于,且a1=1,故a2=2. 于是a2m-1=1+2(m-1)=2m-1,a2m=2+2(m-1)=2m, 所以an=n(n∈N*). (Ⅱ)由,得,, 故. 从而. = 因此2Tn-log2(2an+1)=-log2(2n+1) ==. 设, 则, 故=, 注意到f(n)>0,所以f(n+1)>f(n). 特别地,从而2Tn-log2(2an+1)=log2f(n)>0. 所以2Tn>log2(2an+1),n∈N*. (Ⅲ)易得. 注意到a8=8,则有, 即,整理得3m-3m-d=8.① 当m≥d时,由①得3m-d(3d-1)=8. 因为m,d∈N*,所以m=d=2. 当m<d时,由①得3d-1=8•3d-m.② 因为m<d,故②式右边必是3的倍数,而左边不是3的倍数,所以②式不成立, 即当m<d时,不存在m,d∈N*,使得①式成立. 综上所述,存在正整数m=d=2, 使得成立.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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