Question

已知以点P为圆心的圆过点A（-1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C、D，且|CD|=．
（1）求直线CD的方程；
（2）求圆P的方程；
（3）设点Q在圆P上，试探究使△QAB的面积为8的点Q共有几个？证明你的结论．

Answer

（1）直线CD是线段AB的垂直平分线，所以由直线AB的斜率与直线CD的斜率互为负倒数，同时，线段AB的中点在直线CD上，由点斜式求得直线CD的方程．
（2）设圆心P（a，b），则由P在CD上得a+b-3=0 ①又直径|CD|=，|PA|= 即（a+1）2+b2=40 ②由①②消去a得b2-4b-12=0，求得圆心．
（3）易知|AB|=，由三角形面积公式求得AB上高和圆心到直线的距离，再由“若两距离之和等于半径则有三个点，若小于半径有四个点，若大于半径有两个点”判断即可．
【解析】
（1）∵kAB=1，AB的中点坐标为（1，2）
∴直线CD的方程为：y-2=-（x-1）即x+y-3=0；
（2）设圆心P（a，b），
则由P在CD上得a+b-3=0 ①
又直径|CD|=，∴|PA|=
∴（a+1）2+b2=40 ②
①代入②消去a得b2-4b-12=0，
解得b=6或b=-2
当b=6时a=-3，当b=-2时a=5
∴圆心P（-3，6）或P（5，-2）
∴圆P的方程为：（x+3）2+（y-6）2=40
或（x-5）2+（y+2）2=40；
（3）∵|AB|=，
∴当△QAB面积为8时，点Q到直线AB的距离为，
又圆心到直线AB的距离为，圆P的半径，
且，
∴圆上共有两个点Q，使△QAB的面积为8．