Question

水土流失是我国西部大开发中最突出的问题，全国9100万亩坡度为25°以上的坡耕地需退耕还林，其中西部占70%，2002年国家确定在西部地区退耕还林面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增12%．
（1）试问，从2002年起到哪一年西部地区基本上解决退耕还林问题？
（2）为支持退耕还林工作，国家财政补助农民每亩300斤粮食，每斤粮食按0.7元计算，并且每亩退耕地每年补助20元，试问到西部地区基本解决退耕还林问题时，国家财政共需支付约多少亿元？

Answer

（1）设设2002年起经x年西部地区基本上解决退耕还林问题，即x年中退耕还林的累加量等于全国9100万亩坡度为25°以上的坡耕地需退耕还林的70%，由2002年国家确定在西部地区退耕还林面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增12%，我们不难构造方程，解方程即可得到结论．
（2）由（1）的结论，结合国家财政补助农民每亩300斤粮食，每斤粮食按0.7元计算，并且每亩退耕地每年补助20元，我们易求出每一年国家财政支付资金，累加后，即可得到答案．
【解析】
（1）设2002年起经x年西部地区基本上解决退耕还林问题．
依题意，得：
515+515×（1+12%）+515×（1+12%）2+…+515×（1+12%）x-1=9100×70%
即：515×[1+（1+12%）+（1+12%）2+…+（1+12%）x-1]=6370
即⇒
整理得：
又x∈N，故从2002年起到2009年年底西部地区基本解决退耕还林问题
（2）设到西部地区基本解决退耕还林问题国家共需支付y亿元．
首批退耕地国家应支付：515×104×（300×0.7+20）×8，
第二批退耕地国家应支付：515×104×（1+12%）×（300×0.7+20）×7，
第三批退耕地国家应支付：515×104×（1+12%）2×（300×0.7+20）×6，
…
最后一批退耕地国家应支付：515×104×（1+12%）7×（300×0.7+20）×1，
令S=8+7×1.12+6×1.122++1×1.127①
1.12S=8×1.12+7×1.122+6×1.123++1×1.128②
②-①得：0.12S=-8×（1.12+1.122+1.123++1.127）+1×1.128
解得：S≈48.1，故：y≈（515×104×230×48.1）÷108≈569.7（亿元）
答：到西部地区基本解决退耕还林问题国家共需支付约570亿元．