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已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a≠0,b<1),在区间[2,3]上有...

已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a≠0,b<1),在区间[2,3]上有最大值4,最小值1,设f(x)=manfen5.com 满分网
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)不等式f(2x)-k•2x≥0在x∈[-1,1]上恒成立,求实数k的范围;
(Ⅲ)方程manfen5.com 满分网有三个不同的实数解,求实数k的范围.
(Ⅰ)只需要利用好所给的在区间[2,3]上有最大值4,最小值1,即可列出方程求的两个未知数; (Ⅱ)要结合(Ⅰ)的结论将问题具体化,在通过游离参数化为求函数ϕ(t)=t2-2t+1最小值问题即可获得问题的解答; (Ⅲ)可直接对方程进行化简、换元结合函数图象即可获得问题的解答. 【解析】 (Ⅰ)(1)g(x)=a(x-1)2+1+b-a 当a>0时,g(x)在[2,3]上为增函数 故 当a<0时,g(x)在[2,3]上为减函数 故 ∵b<1 ∴a=1,b=0 (Ⅱ)由(Ⅰ)即g(x)=x2-2x+1.. 方程f(2x)-k•2x≥0化为, 令,k≤t2-2t+1 ∵x∈[-1,1]∴记ϕ(t)=t2-2t+1 ∴φ(t)min=0 ∴k≤0 (Ⅲ)方程 化为 |2x-1|2-(2+3k)|2x-1|+(1+2k)=0,|2x-1|≠0 令|2x-1|=t,则方程化为t2-(2+3k)t+(1+2k)=0(t≠0) ∵方程有三个不同的实数解, ∴由t=|2x-1|的图象知, t2-(2+3k)t+(1+2k)=0有两个根t1、t2, 且0<t1<1<t2或0<t1<1,t2=1 记ϕ(t)=t2-(2+3k)t+(1+2k) 则或 ∴k>0.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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