Question

已知函数g（x）=ax²-2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上恒成立，求实数k的范围；
（Ⅲ）方程有三个不同的实数解，求实数k的范围．

Answer

（Ⅰ）只需要利用好所给的在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，即可列出方程求的两个未知数；
（Ⅱ）要结合（Ⅰ）的结论将问题具体化，在通过游离参数化为求函数ϕ（t）=t2-2t+1最小值问题即可获得问题的解答；
（Ⅲ）可直接对方程进行化简、换元结合函数图象即可获得问题的解答．
【解析】
（Ⅰ）（1）g（x）=a（x-1）2+1+b-a
当a＞0时，g（x）在[2，3]上为增函数
故
当a＜0时，g（x）在[2，3]上为减函数
故
∵b＜1
∴a=1，b=0
（Ⅱ）由（Ⅰ）即g（x）=x2-2x+1.．
方程f（2x）-k•2x≥0化为，
令，k≤t2-2t+1
∵x∈[-1，1]∴记ϕ（t）=t2-2t+1
∴φ（t）min=0
∴k≤0
（Ⅲ）方程
化为
|2x-1|2-（2+3k）|2x-1|+（1+2k）=0，|2x-1|≠0
令|2x-1|=t，则方程化为t2-（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0）
∵方程有三个不同的实数解，
∴由t=|2x-1|的图象知，
t2-（2+3k）t+（1+2k）=0有两个根t1、t2，
且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1
记ϕ（t）=t2-（2+3k）t+（1+2k）
则或
∴k＞0．