Question

如图，在四棱锥p-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，PA=CD=4．
（Ⅰ）求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）求二面角B-PC-A的余弦值．

Answer

（1）以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，求出与的坐标，利用它们的数量积为零证得BD⊥OC；
（2）易证为面PAC的法向量，求出面PBC的法向量，然后求出两法向量的夹角，利用两平面的法向量的夹角与二面角的平面角相等或互补，即可求得二面角B-PC-A的余弦值．
证明：（Ⅰ）以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则B（0，1，0），C（-2，4，0），D（-2，0，0），P（0，0，4），
∴，，
∴
所以PC⊥BD．
（Ⅱ）易证为面PAC的法向量，
设面PBC的法向量n=（a，b，c），

所以⇒
所以面PBC的法向量n=（6，4，1），
∴cosθ=-．
因为面PAC和面PBC所成的角为锐角，
所以二面角B-PC-A的余弦值为．