Question

已知函数f（x）=（x²+ax-2a²+3a）e^x（x∈R），其中a∈R．
（Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数f（x）的单调区间和极值．

Answer

（Ⅰ）把a=0代入到f（x）中化简得到f（x）的解析式，求出f'（x），因为曲线的切点为（1，f（1）），所以把x=1代入到f'（x）中求出切线的斜率，把x=1代入到f（x）中求出f（1）的值得到切点坐标，根据切点和斜率写出切线方程即可；
（Ⅱ）令f'（x）=0求出x的值为x=-2a和x=a-2，分两种情况讨论：①当-2a＜a-2时和②当-2a＞a-2时，讨论f'（x）的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性即可得到函数的最值．
（Ⅰ）【解析】
当a=0时，f（x）=x2ex，f'（x）=（x2+2x）ex，故f'（1）=3e，
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为3e，f（1）=e，
所以该切线方程为y-e=3e（x-1），
整理得：3ex-y-2e=0．
（Ⅱ）【解析】
f'（x）=[x2+（a+2）x-2a2+4a]ex
令f'（x）=0，解得x=-2a，或x=a-2．由知，-2a≠a-2．
以下分两种情况讨论．
①若a＞，则-2a＜a-2．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
所以f（x）在（-∞，-2a），（a-2，+∞）内是增函数，在（-2a，a-2）内是减函数．
函数f（x）在x=-2a处取得极大值f（-2a），且f（-2a）=3ae-2a．
函数f（x）在x=a-2处取得极小值f（a-2），且f（a-2）=（4-3a）ea-2．
②若a＜，则-2a＞a-2，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
所以f（x）在（-∞，a-2），（-2a，+∞）内是增函数，在（a-2，-2a）内是减函数
函数f（x）在x=a-2处取得极大值f（a-2），且f（a-2）=（4-3a）ea-2，
函数f（x）在x=-2a处取得极小值f（-2a），且f（-2a）=3ae-2a．