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设函数f(x)=2ax3-(6a+3)x2+12x(a∈R). (Ⅰ)当a=1时...

设函数f(x)=2ax3-(6a+3)x2+12x(a∈R).
(Ⅰ)当a=1时,求函数f(x)的极大值和极小值;
(Ⅱ)若函数f(x)在区间(-∞,1)上是增函数,求实数a的取值范围.
(1)先求出f′(x)=0的值,再讨论满足f′(x)=0的点附近的导数的符号的变化情况,来确定极值点,最后代入函数求出极大值与极小值; (2)欲使函数f(x)在区间(-∞,1)上是增函数,只需使在区间(-∞,1)上f′(x)≥0恒成立,注意分类讨论即可. 【解析】 (Ⅰ)当a=1时,f(x)=2x3-9x2+12x(1分) ∴f′(x)=6x2-18x+12=6(x2-3x+2),(2分) 令f′(x)=0,得x1=1,x2=2,列表 ∴f(x)的极大值为f(1)=5,f(x)的极小值为f(2)=4(6分) (Ⅱ)f′(x)=6ax2-(12a+6)x+12=6[ax2-(2a+1)x+2]=6(ax-1)(x-2)(7分) ①若a=0,则f(x)=-3x2+12x, 此函数在(-∞,2)上单调递增,满足题意(8分) ②若a≠0,则令f′(x)=0,得x1=2,, 由已知,f(x)在区间(-∞,1)上是增函数, 即当x<1时,f′(x)≥0恒成立(10分) 若a>0,则只须,即0<a≤1(11分) 若a<0,则,当时,f'(x)<0, 则f(x)在区间(-∞,1)上不是增函数 综上所述,实数a的取值范围是[0,1](13分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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