Question

已知圆O：x²+y²=1，点O为坐标原点，一条直线l：y=kx+b（b＞0）与圆O相切并与椭圆交于不同的两点A、B．
（Ⅰ）设b=f（k），求f（k）的表达式，并注明k的取值范围；
（Ⅱ）若，求直线l的方程；
（Ⅲ）若=m（），求△OAB面积S的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由题设知（b＞0），由此可知．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）则由，消去y得（2k2+1）x2+4kbx+2b2-2=0，再由根的判别式和根与系数的关系可以求出直线l的方程．
（Ⅲ）由题设知，所以，再由弦长公式，求出|AB|的长，用点到直线的距离公式求出点O到直线AB的距离，由此可以导出△OAB面积S的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）y=kx+b（b＞0）与圆x2+y2=1相切，则，
即b2=k2+1，k≠0，所以（b＞0）
∴（3分）

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）则由，消去y
得（2k2+1）x2+4kbx+2b2-2=0
又△=8k2＞0
∴（5分）
从而，∴k=±1
∴=（7分）
∴直线l的方程为：．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：，又
∴⇒（10分）
由弦长公式，得
又点O到直线AB的距离
∴（12分）
∴（14分）