Question

在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a²-c²=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b

Answer

根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系，再根据a2-c2=2b即可得到答案．
【解析】
法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，
则由正弦定理及余弦定理有：
，
化简并整理得：2（a2-c2）=b2．
又由已知a2-c2=2b∴4b=b2．
解得b=4或b=0（舍）；
法二：由余弦定理得：a2-c2=b2-2bccosA．
又a2-c2=2b，b≠0．
所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，
∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，
即sinB=4cosAsinC由正弦定理得，
故b=4ccosA②由①，②解得b=4．