Question

设函数f（x）=x²+aIn（1+x）有两个极值点x₁、x₂，且x₁＜x₂，
（I）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；
（II）证明：．

Answer

（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），令g（x）=2x2+2x+a，由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于-1的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间；
（2）x2是方程g（x）=0的根，将a用x2表示，消去a得到关于x2的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可证得不等式．
【解析】
（I）
令g（x）=2x2+2x+a，其对称轴为．
由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于-1的不相等的实根，
其充要条件为，得
（1）当x∈（-1，x1）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（-1，x1）内为增函数；
（2）当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（x1，x2）内为减函数；
（3）当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（x2，+∞）内为增函数；
（II）由（I），a=-（2x22+2x2）
∴f（x2）=x22+aln（1+x2）=x22-（2x22+2x2）ln（1+x2）
设，
则h'（x）=2x-2（2x+1）ln（1+x）-2x=-2（2x+1）ln（1+x）
（1）当时，h'（x）＞0，∴h（x）在单调递增；
（2）当x∈（0，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减．∴
故．