Question

若不等式x²-|a|x+a-1＞0对于一切x∈（1，2）恒成立，则实数a的最大值为    ．

Answer

根据题意，对a分三种情况讨论，每种情况先将不等式x2-|a|x+a-1＞0变形整理，分析该不等式在（1，2）恒成立的条件，综合可得a的取值范围，进而可得a的最大值，即可得答案．
【解析】
①a＞0时，不等式x2-|a|x+a-1＞0⇒x2-ax+a-1＞0⇒（x-1）[x-（a-1）]＞0，
不等式x2-|a|x+a-1＞0对于一切x∈（1，2）恒成立，
即（x-1）[x-（a-1）]＞0在（1，2）上恒成立，
必有a-1≤1，即a≤2，
则当0＜a≤2时，不等式x2-|a|x+a-1＞0对于一切x∈（1，2）恒成立，
②a=0时，不等式x2-|a|x+a-1＞0⇒x2-1＞0，
x∈（1，2）时，x2-1＞0成立，
即a=0时不等式x2-|a|x+a-1＞0对于一切x∈（1，2）恒成立，
③a＜0时，不等式x2-|a|x+a-1＞0⇒x2+ax+a-1＞0⇒（x-1）[x-（-a-1）]＞0，
又由a＜0，则-a-1＜-1＜1，
x∈（1，2）时，（x-1）[x-（-a-1）]＞0恒成立，
则不等式x2-|a|x+a-1＞0对于一切x∈（1，2）恒成立，
综合可得a的取值范围是a≤2，
则实数a的最大值为2；
故答案为a=2．