Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，过A₁、C₁、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-A₁C₁D₁，且这个几何体的体积为10．
（1）求棱A₁A的长；
（2）若A₁C₁的中点为O₁，求异面直线BO₁与A₁D₁所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer

（1）先设出棱A1A的长，求出长方体的体积和被截的几何体的体积，根据条件建立等量关系，求出所求；
（2）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，∠O1BC即为异面直线BO1与A1D1所成的角（或其补角），在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．
【解析】
（1）设A1A=h，由题设，
得，
即，解得h=3．
故A1A的长为3．（6分）
（2）因为在长方体中A1D1∥BC，
所以∠O1BC即为异面直线BO1与A1D1所成的角（或其补角）．（8分）
在△O1BC中，计算可得，
则∠O1BC的余弦值为，
故异面直线BO1与A1D1所成角的大小为．（14分）