Question

过抛物线x²=2py（p＞0）的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C．若梯形ABCD的面积为，则P=    ．

Answer

先根据抛物线方程得出其焦点坐标和过焦点斜率为1的直线方程，设出A，B两点的坐标，把直线与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而用A，B坐标表示出梯形的面积建立等式求得p．
【解析】
抛物线的焦点坐标为F（0，），则过焦点斜率为1的直线方程为y=x+，
设A（x1，y1），B（x2，y2）（x2＞x1），由题意可知y1＞0，y2＞0
由，消去y得x2-2px-p2=0，
由韦达定理得，x1+x2=2p，x1x2=-p2
所以梯形ABCD的面积为：S=（y1+y2）（x2-x1）=（x1+x2+p）（x2-x1）=•3p=3p2
所以3p2=12，又p＞0，所以p=2
故答案为2．