Question

已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，过点K（-1，0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．
（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；
（Ⅱ）设，求△BDK的内切圆M的方程．

Answer

（Ⅰ）先根据抛物线方程求得焦点坐标，设出过点K的直线L方程代入抛物线方程消去x，设L与C 的交点A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理求得y1+y2和y1y2的表达式，进而根据点A求得点D的坐标，进而表示出直线BD和BF的斜率，进而问题转化两斜率相等，进而转化为4x2=y22，依题意可知等式成立进而推断出k1=k2原式得证．
（Ⅱ）首先表示出结果为求得m，进而求得y2-y1的值，推知BD的斜率，则BD方程可知，设M为（a，0），M到x=y-1和到BD的距离相等，进而求得a和圆的半径，则圆的方程可得．
【解析】
（Ⅰ）抛物线C：y2=4x①的焦点为F（1，0），
设过点K（-1，0）的直线L：x=my-1，
代入①，整理得
y2-4my+4=0，
设L与C 的交点A（x1，y1），B（x2，y2），则
y1+y2=4m，y1y2=4，
点A关于X轴的对称点D为（x1，-y1）．
BD的斜率k1==，
BF的斜率k2=．
要使点F在直线BD上
需k1=k2
需4（x2-1）=y2（y2-y1），
需4x2=y22，
上式成立，∴k1=k2，
∴点F在直线BD上．
（Ⅱ）=（x1-1，y1）（x2-1，y2）=（x1-1）（x2-1）+y1y2=（my1-2）（my2-2）+y1y2=4（m2+1）-8m2+4=8-4m2=，
∴m2=，m=±．
y2-y1==4=，
∴k1=，BD：y=（x-1）．
易知圆心M在x轴上，设为（a，0），M到x=y-1和到BD的距离相等，即
|a+1|×=|（（a-1）|×，
∴4|a+1|=5|a-1|，-1＜a＜1，
解得a=．
∴半径r=，
∴△BDK的内切圆M的方程为（x-）2+y2=．