Question

已知m是非零实数，抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F在直线上．
（I）若m=2，求抛物线C的方程
（II）设直线l与抛物线C交于A、B，△AA₂F，△BB₁F的重心分别为G，H，求证：对任意非零实数m，抛物线C的准线与x轴的焦点在以线段GH为直径的圆外．

Answer

（1）根据焦点F（，0）在直线l上，将F代入可得到ρ=m2，再由m=2可确定p的值，进而得到答案．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），然后联立消去x表示出两根之和、两根之积，然后设M1，M2分别为线段AA1，BB1的中点，根据重心的定义可得到关系2，进而得到G（），H（），和GH的中点坐标M，再由可得到关于m的关系式，然后表示出|MN|整理即可得证．
【解析】
（1）因为焦点F（，0）在直线l上，
得p=m2
又m=2，故p=4
所以抛物线C的方程为y2=8x
（2）证明设A（x1，y1），B（x2，y2）
由消去x得
y2-2m3y-m4=0，
由于m≠0，故△=4m6+4m4＞0，
且有y1+y2=2m3，y1y2=-m4，
设M1，M2分别为线段AA1，BB1的中点，
由于2，
可知G（），H（），
所以，，
所以GH的中点M．
设R是以线段GH为直径的圆的半径，
则
设抛物线的标准线与x轴交点N，
则
=m4（m4+8m2+4）
=m4[（m2+1）（m2+4）+3m2]
＞m2（m2+1）（m2+4）=R2．
故N在以线段GH为直径的圆外．