Question

设无穷等差数列{a_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）若首项a₁=，公差d=1．求满足的正整数k；
（Ⅱ）求所有的无穷等差数列{a_n}，使得对于一切正整数k都有成立．

Answer

（Ⅰ），由得，又k是正整数，所以k=4．
（Ⅱ）设数列的公差为d，则在中分别取k=1，2得，由此能求出只有3个满足条件的无穷等差数列．
【解析】
（Ⅰ）∵首项a1=，公差d=1．
∴，
由得，
即，
∵k是正整数，∴k=4．…（5分）
（Ⅱ）设数列的公差为d，
则在中分别取k=1，和k=2得，
即
由①得a1=0或a1=1，
当a1=0时，代入②得d=0或d=6．若a1=0，d=0则本题成立；
若a1=0，d=6，则an=6（n-1），
由S3=18，（S3）2=324，S9=216知S9≠（S3）2，故所得数列不符合题意；
当a1=1时，代入②得4+6d=（2+d）2，
解得d=0或d=2．
若a=1，d=0则an=1，Sn=n从而成立；
若a1=1，d=2，则an=2n-1，Sn=n2，
从而成立．
综上所述，只有3个满足条件的无穷等差数列：
①an=0； ②an=1；③an=2n-1．