Question

如图，四边形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB=AB=2MA
（Ⅰ）证明：AC∥平面PMD；
（Ⅱ）求直线BD与平面PCD所成的角的大小．

Answer

（1）要证明AC∥平面PMD，关键是要在平面PMD中找到一条与AC平行的直线，然后根据线面平行的判定定理进行证明，观察到平面PMD中已知的三条直线与AC均不平行，故我们要添加辅助线进行证明，取PD的中点E，则ME即为所求．
（2）要求直线BD与平面PCD所成的角的大小，关键是要找到BD在平面PCD上的射影，由已知我们易证平面PBC⊥平面PCD，故过B点作PC的垂线BF，则F即为B点在平面PCD上的射影，则∠BDF，即为直线BD与平面PDC所成的夹角，解三角形BDF后，即可求解．
（Ⅰ）证明：如图，取PD的中点E，连EO，EM．
∵EO∥PB，EO=PB，MA∥PB，MA=PB，
∴EO∥MA，且EO=MA、
∴四边形MAOE是平行四边形．
∴ME∥AC
又∵AC⊄平面PMD，ME⊂平面PMD，
∴AC∥平面PMD

（Ⅱ）如图，PB⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD
∴CD⊥PB、
又∵CD⊥BC，∴CD⊥平面PBC、
∵CD⊂平面PCD，∴平面PBC⊥平面PCD、
过B作BF⊥PC于F，则BF⊥平面PDC，
连接DF，则DF为BD在平面PCD上的射影．
∴∠BDF是直线BD与平面PDC所成的角
不妨设AB=2，
则在Rt△PBC中，PB=BC=2，BF⊥PC，
∴BF=PC=．
∵BD=2．
∴在Rt△BFD中，BF=BD，
∴∠BDF=．
∴直线BD与平面PCD所成的角是．