Question

P，Q，M，N四点都在椭圆上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点．已知与共线，与共线，且．求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．

Answer

由题设条件可知MN⊥PQ．设MN⊥y轴，则PQ⊥x轴，MN的方程为y=1，PQ的方程为x=0，由题设条件能够推出四边形PMQN的面积为，|MN|•|PQ|=××2=2．当MN，PQ都不与坐标轴垂直时，根据题设条件能够推导出，|PQ|=，所以S四边形PMQN=|MN|•|PQ|=，由此入手结合题设条件能够导出（S四边形PMQN）max=2，（S四边形PMQN）min=．
【解析】
∵．即MN⊥PQ．
当MN或PQ中有一条直线垂直于x轴时，另一条直线必垂直于y轴．
不妨设MN⊥y轴，则PQ⊥x轴，
∵F（0，1）
∴MN的方程为：y=1，PQ的方程为：x=0
分别代入椭圆中得：|MN|=，|PQ|=2．
S四边形PMQN=|MN|•|PQ|=××2=2
当MN，PQ都不与坐标轴垂直时，
设MN的方程为y=kx+1（k≠0），
代入椭圆中得：（k2+2）x2+2kx-1=0，
∴x1+x2=，x1•x2=
∴
同理可得：|PQ|=，
S四边形PMQN=|MN|•|PQ|==
（当且仅当即k=±1时，取等号）．
又S四边形PMQN=，∴此时S四边形PMQN＜2．
综上可知：（S四边形PMQN）max=2，（S四边形PMQN）min=．