Question

设F₁，F₂为双曲线的左右焦点，P为双曲线右支上任一点，当最小值为8a时，该双曲线离心率e的取值范围是    ．

Answer

由定义知：|PF2|-|PF1|=2a，∴|PF2|=2a+|PF1|，∴=．
当且仅当，即||PF1|=2a时取得等号．然后利用焦半径公式可以导出该双曲线离心率e的取值范围．
【解析】
由定义知：|PF2|-|PF1|=2a，
∴|PF2|=2a+|PF1|，
∴=．
当且仅当，即||PF1|=2a时取得等号．
设P（x，y），（x≤-a）
依焦半径公式得：|PF1|=-e×x-a=2a，
∴
又∵e＞1，故e∈（1，3]
答案：（1，3]．