Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中点，平面B₁ED交A₁D₁于F
（1）指出F在A₁D₁上的位置，并证明．
（2）求直线A₁C与B₁F所成角的余弦值．

Answer

（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，求出与，再根据向量平行建立等量关系，从而求出点F的位置；
（2）先分别求出直线A1C与B1F的向量坐标，求出向量与的夹角余弦值，再根据异面直线所成角的范围求出直线A1C与B1F所成角的余弦值即可．
【解析】
（1）以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz．
∵面ABCD∥面A1B1C1D1，面B1EDF∩面A1B1C1D1=B1F，
面B1EDF∩面ABCD=DE
∴B1F∥DE
又∵D（0，1，0），E（1，，0），B1（1，0，1）
设F（0，y，1），则=（-1，y，0），=（-1，，0）
∴即
∴
∴F为A1D1的中点
（2）A1（0，0，1），C（1，1，0），则
=（1，1，-1），
∴A1C与B1F所成角的余弦值为（12分）