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与正方体ABCD-A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相...

与正方体ABCD-A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点( )
A.有且只有1个
B.有且只有2个
C.有且只有3个
D.有无数个
由于点D、B1显然满足要求,猜想B1D上任一点都满足要求,然后想办法证明结论. 【解析】 在正方体ABCD-A1B1C1D1上建立如图所示空间直角坐标系, 并设该正方体的棱长为1,连接B1D,并在B1D上任取一点P, 因为=(1,1,1), 所以设P(a,a,a),其中0≤a≤1. 作PE⊥平面A1D,垂足为E,再作EF⊥A1D1,垂足为F, 则PF是点P到直线A1D1的距离. 所以PF=; 同理点P到直线AB、CC1的距离也是. 所以B1D上任一点与正方体ABCD-A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离都相等, 所以与正方体ABCD-A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点有无数个. 故选D.
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