Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，AA₁=AB，D为BB₁的中点，E为AB₁上的一点，AE=3EB₁．
（Ⅰ）证明：DE为异面直线AB₁与CD的公垂线；
（Ⅱ）设异面直线AB₁与CD的夹角为45°，求二面角A₁-AC₁-B₁的大小．

Answer

（1）欲证DE为异面直线AB1与CD的公垂线，即证DE与异面直线AB1与CD垂直相交即可；
（2）将AB1平移到DG，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1-AC1-B1的平面角，在三角形B1KH中求出此角即可．
【解析】
（1）连接A1B，记A1B与AB1的交点为F．
因为面AA1BB1为正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1，
又AE=3EB1，所以FE=EB1，
又D为BB1的中点，
故DE∥BF，DE⊥AB1．
作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点．
又由底面ABC⊥面AA1B1B．连接DG，则DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD．
所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线．
（2）因为DG∥AB1，故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角，∠CDG=45°
设AB=2，则AB1=，DG=，CG=，AC=．
作B1H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C．又作HK⊥AC1，K为垂足，连接B1K，由三垂线定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH为二面角A1-AC1-B1的平面角．
B1H=，C1H=，AC1=，HK=
tan∠B1KH=，
∴二面角A1-AC1-B1的大小为arctan．